三、卡尔曼滤波

[线性离散系统的卡尔曼滤波]

  动态模型  设一n维线性动态系统与p维线性观测系统分别由下面的差分方程描述:

               

                             

或引入相应的符号简单地记作

                                                        (1)

                                                           (2)

其中(k为整数)满足

              

x(t)是n维状态矢量，(t)是m维动态噪声矢量，z(t)是p维()观测矢量，v(t)是p维()观测噪声矢量；矩阵，称为动态噪声矩阵，H(t)是矩阵，称为观测矩阵，是非奇异矩阵，称为系统的转移矩阵，具有下列性质∶

(i)    (对于一切t，其中I为单位矩阵)

   (ii)   (对于任意的)

            (iii)    

     线性最小方差估计  如果从动态模型确定在时刻系统的状态的估值时，满足下述条件:

 (i)  估值是观测值的线性函数；

    (ii)  =最小值，其中是估计误差;那末这个估值称为线性最小方差估计。

设通过p维线性观测系统(2)，从第1时刻到第k时刻，对n维线性动态系统(1)的状态作了k次观测，根据这k个观测数据，对第j时刻的状态进行的估计为 ，估计误差为，把估计的均方误差记作。当时，称为预报或外推，当时，称为内插。特别当j=k时称为滤波，并简记。

      卡尔曼滤波公式  设在上述动态模型中，动态噪声与观测噪声是互不相关的零均值白噪声序列；即对所有k,j

均值 ，均方差 

      ,        

                      

又设初始状态的统计特征为

             

且与都不相关，即

             

那末的最优线性滤波可由下式递推计算

            

其初值；又其中

        

         

     

称为加权矩阵或增益矩阵，为最优估值误差的协方差矩阵，括号中的I表示单位矩阵，最后一个方程称为协方差更新方程。

   这时最优线性预报(外推)估值为

                          (j>k)

   [连续时间系统的卡尔曼滤波]

  动态模型设状态方程是

                                                        (1)

观测方程是

          

式中是n维矢量型的随机过程，是p维矢量型的随机过程。，分别是m维()和p维矢量型的、均值为零的互不相关的白噪声过程，即

                

                

                

                

式中Q(t)，R(t)都是对时间t连续可微的、对称和非负定矩阵；是狄拉克函数。又F(t)，G(t)与H(t)分别是矩阵，其元素为t的非随机函数或常数。

      线性最小方差估计  设已知(由观测得到)的值()，求由公式

              

所表示的的线性估值，使得

    =最小值

这样的估值称为线性最小方差估计，其中滤波因子矩阵，它的每个元素对两个自变量都是连续可微的。

  卡尔曼滤波方程  假设上述动态模型满足下列条件:

    (i)  矩阵R(t)对于一切t是正定的;

(ii) 在u(t)的作用下，动态系统(1)达到稳定状态，即x(t)是由

             

确定的随机函数；

(iii) 在某个确定的时刻，被测量和在时刻的方差是             已知的；

那末动态模型的最优滤波方程是

          

式中

                (加权矩阵方程)

                           (2)

                                                      (黎卡提方程(见第十三章§1))

初始条件为

                        

                      

上式中称为加权矩阵，为最优估值误差的协方差矩阵。

    特别，当为矢量型的平稳随机过程时，可在(2)中令，解出。