§4   立体图形的体积、表面积、侧面积

几何重心与转动惯量计算公式

 

一、      立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量*J

a为棱长，d为对角线

 

a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线

 

 

体  积

表面积

侧面积

对角线

重  心 G在对角线交点上

 

体  积

表面积

侧面积

对角线

重  心 G在对角线交点上

转动惯量

取长方体中心为坐标原点,坐标

轴分别平行三个棱边

 

 

 

  

(当时,即为正方体的情况)

 

表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

a,b,c为边长,h为高

 

a为底边长,h为高,d为对角线

 

n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高

 

体  积

表面积

侧面积

    式中F为底面积

重  心

    (P、Q分别为上下底重心)

转动惯量

  对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原点,z轴与棱平行

     

体  积

表面积

侧面积

对角线

重  心

    (P、Q分别为上下底重心)

转动惯量

  取G为坐标原点,z轴与棱平行

     

 

体  积

表面积

侧面积

  式中F为底面积,为一侧三角形面积

重  心    (Q为底面的重心)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

a,b,c,p,q,r为棱长

 

 

 

h为高

 

 

 

a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜高

体积

重心  

       (P为顶点,Q为底面的重心)

 

 

 

 

 

体积 

式中分别为上下底面积

重心 

    (P,Q分别为上下底重心)

 

 

 

 

 

 

 

体  积

表面积

侧面积

  式中分别为上下底面积

重  心

       (P、Q分别为上下底重心)

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为高,为截头棱长

 

 

底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长

 

 

 

r为半径

体积

     

重心 

      (P,Q分别为上下底重心)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

体积 

重心 

   (P为上棱中点,Q为下底面重心)

 

 

 

 

 

 

 

 

体 积 

表面积 

重  心  G与球心O重合

转动惯量

  取球心O为坐标原点

     

     

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

[半球体]

r为半径,O为球心

 

 

   

 

r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,为锥角(弧度)

 

r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高

体  积

表面积

侧面积

重  心

转动惯量

  取球心O为坐标原点,z轴与GO重合

     

     

 

 

体  积

表面积

侧面积 (锥面部分)

重  心

转动惯量

  z轴与GO重合

    

       

 

 

 

 

体 积

表面积

侧面积(球面部分) 

重  心

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

[球台]

r为球半径,,a分别为上下底圆的半径,h为高

 

 

 

 

 

R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径

 

 

 

体  积

表面积

侧面积

      

重  心

      

       (Q为下底圆心)

 

 

 

 

体  积

表面积

重  心 G在圆环的中心上

转动惯量

  取圆环的中心为坐标原点,z轴垂直于圆环所在平面

  

  

 

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

[圆柱体]

r为底面半径,h为高

R为外半径,r为内半径,h为高

r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,为截角,D为截头椭圆轴

体  积 

表面积 

侧面积 

重  心 

       (P,Q分别为上下底圆心)

转动惯量

  取重心G为坐标原点,z轴垂直底面

    

    

 

 

体  积 

表面积 

侧面积 

     式中t为管壁厚,为平均半径

重  心 

转动惯量

  取z轴与GQ重合

    

体  积 

表面积 

         

侧面积 

截头椭圆轴 

重  心 

       

        (GQ为重心到底面距离,GK

         为重心到轴线的距离)

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

 

h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦长,r为底面半径,为弧所对圆心角(弧度)

 

a,b,c为半轴

 

体  积 

 

   

侧面积(柱面部分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

体  积 

重  心  G在椭球中心O上

转动惯量

  取椭球中心为坐标原点,z轴与c轴重合

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

r为底圆半径,h为高,l为母线

 

 

 

 

 

 

 

 

r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线

 

 

 

 

上下底平行,,分别为上,下底面积,为中截面面积,h为高

 

体  积 

表面积 

侧面积 

母  线 

重  心 

        (Q为底圆中心,O为圆锥顶点)

转动惯量

  取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ重合

      

      

 

 

体  积 

表面积 

侧面积 

母  线 

圆锥高(母线交点到底圆的距离)

       

重  心 

        (P,Q分别为上下底圆心)

 

体  积 

 

 

 

[注]  棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例

 

 

 

 

 

图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J

d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为高

 

 

母线为圆弧时:

体积

 

   

 

母线为抛物线时:

体积 

 

   

重心 

      (P,Q分别为上下底圆心)

 

 

二、      多面体

 

 

[正四面体]

[正八面体]

[正十二面体]

[正二十面体]

图形

面数f

4

8

12

20

棱数k

6

12

30

30

顶点数e

4

6

20

12

体积V

表面积S

表中a为棱长.

[欧拉公式]   一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足