§8  重要平面曲线表

[三次曲线]

方 程 与 图 形	特 征
(a >0 , b<0 ,Δ>0)       (a >0 , b<0 ,Δ=0)           (a)                   (b) 这些曲线都是关于直线对称的	曲线由两支组成 渐近线y = a与x = 0 曲线与y = a的交点 曲线与x轴的交点 极值点 拐 点 ( a ) 不连续点 极 大 点 渐 近 线 （b） 不连续点 渐 近 线 （c） 极 大 点 拐 点 在这两点的斜率分别为 渐 近 线 y = 0
方 程 与 图 形	特 征
[注] a, b为方程的两个根，并设	（a） 不连续点 x = a，x = b 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b （b） 不连续点 x = a，x = b 极 大 点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b ( c ) 不连续点 x = a，x = b 极 大 点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b （d） 不连续点 极 大 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和 （e） 不连续点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和 （f） 极 大 点 极 小 点 拐 点 C, D, E三点 渐 近 线 y = 0

上述三次曲线的图形，只列出a>0的情况，对于a<0时，除曲线（当a>0时渐近线在x轴上方，当a<0时，渐近线在x轴下方）外，一般作适当变化后，与a>0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a<0时，两条曲线：与是关于x轴对称的，而后者x²系数.

[抛物型曲线]

方 程 与 图 形	特 征
	(a) ，n为偶数： y由变到 极值点 奇数个（1～n-1） 拐 点 偶数个（0～n-2） (b) ，n为奇数 y由变到 极值点 偶数个（0～n-1） 拐 点 奇数个（1～n-2） 曲线与x轴的交点 A1, A2, A3(或一个交点A1)为方程的实根与y轴的交点 极值点时 C, D（C取正号，D取负号） 拐 点 它是曲线 的对称中心，该点的切线斜率为
方 程 与 图 形	特 征
(a)               (b)	(a)  ，n为偶数： 顶点（同极值点）O(0, 0) 曲线关于y轴对称 (b)  ，n为奇数： 拐点 O(0, 0) 曲线关于原点对称

（m, n为两个互素的整数）

	n为偶数 m奇数	n为奇数 m偶数	n为奇数 m奇数	相切情况
m>n   m<n 对称情况	关于x轴对称	关于y轴对称	关于原点对称	在原点处与x轴相切 在原点处与y轴相切

方 程 与 图 形

特 征

[双曲型曲线] [半立方抛物线] [箕舌线] [笛卡儿叶形线] 或 [蔓叶线] 或 或 [环索线] 或 或 [尼哥米德蚌线] 或 或 （外支线取正号，内支线取负号）

(a)  n为偶数： 不连续点 O（0, 0） 渐 近 线 y = 0与x = 0 曲线关于y轴对称  (b)  n为奇数： 曲线关于原点对称 (a)    ，n为偶数，m为奇数： 不连续点 O（0, 0） 渐 近 线 y = 0与x = 0 曲线关于x对称  (b)    ，n为奇数，m为偶数： 曲线关于y对称  (c)    ，n为奇数，m为奇数： 曲线关于原点对称 尖点 在该点与x轴相切 曲率半径 弧长 极大点 ，在该点的曲率半径为 拐 点 ，在这两点的切线斜率分别为 渐 近 线 曲线与渐近线之间的面积 结 点 ，在该点与x轴和y轴相切，曲率半径为 顶 点 渐近线 圈套所围成的面积 曲线与渐近线之间的面积 曲线是使的点M的轨迹（P是直径为a的母圆与OQ的交点） 尖 点 ，在该点曲线与x轴相切 渐近线 曲线与渐近线之间的面积 曲线是使PM1 = PM2 = OP的点M1 , M2的轨迹（P为y轴上一点，M1,M2在过A, P两点的射线上） 顶 点 A(a, 0) 结 点 O(0, 0) 渐近线 x = -a 圈套所围成的面积 曲线与渐近线之间的面积 曲线是使OM1 = OP + b,OM2 = OP - b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左)) 外支线 顶 点 A(a + b, 0) 拐 点 B, C，它们的横坐标等于方程x^3 – 3a^2x + 2a(a^2 – b^2) = 0的最大根 内支线 顶 点 D(a - b, 0) 拐 点（a>b时）E, F，它们的横坐标等于方程x^3 – 3a^2x + 2a(a^2 – b^2) = 0的第二个正根 尖 点（a=b时） O(0, 0) 结 点（a<b时） O(0, 0) 内外支线的渐近线x = a

 [帕斯卡蜗线]

或

或

曲线是使OM = OP ± b的点M的轨迹（P点在直径为a的圆周上）

顶 点 A_k, B_k(a ± b, 0)(k=1, 2, 3, 4, 5)，B₂与原点重合

结 点（b<a时）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为，该点的曲率半径为

尖 点（b=a时）O(0, 0)

孤立点（b>a时）O(0, 0)

极值点 当b<a时有4个，当b³a时有2个：当b从0变到¥时，所有极值点构成蔓叶线

拐点（a<b<2a时）

二重切线的切点（b<2a时）：

这些切点在圆r = - acosj上蜗线所围成的面积

（当b<a时，内圆的面积计算了两次）

[注]      当b=a时，即为心脏线.

[卡西尼卵形线]

或

曲线是使MF₁×MF₂ = a²的点M的轨迹（F₁, F₂为固定焦点，F₁F₂ = 2c，a为常数）.

顶 点

极值点

或

当a从0变到时，所有极值点构成一个圆（半径为c）

拐 点

其中

或

当a从c变到时，所有拐点构成双纽线

[注]当a=c时，即为双纽线.

[心脏线] 或 或 [双纽线] 或 [普通旋轮线（摆线）] 或 [长（或短）辐旋轮线（次摆线）] 长轴(λ>1) 短轴(λ<1) [圆外旋轮线（外摆线）] （a为定圆的半径，b为动圆的半径，t = ÐCOx）

（i） 它是使OM = OP ± a的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点） （ii） 它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等） 尖 点 O(0, 0) 顶 点 A(2a, 0) 极值点 二重切线的切点 曲线长 L = 8a 面 积 （i） 它是使MF1 × MF2 = a^2的点M的轨迹（OF1 = a） （ii） 它是使OM = PQ的点M的轨迹（P, Q在圆心为F1，半径为的圆周上） 结 点 （同拐点）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为± 1 顶 点 极值点 曲率半径 双纽面积 S = 2a^2 曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹（圆的半径为a） 周 期 T = 2pa 极值点 曲率半径 渐屈线 为一旋轮线（图中虚线） 拱 长 面 积 曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动对，圆外一点M（或圆内一点N）所描成的轨迹（圆的半径为a） 周 期 T = 2pa 结 点 拐 点 极大值点 极小值点 曲率半径 对应于极值点（l<1时）处的曲率半径为 曲线是一圆周沿另一圆周外部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹，曲线的形状由的值而定 （i） 当m = 1时，曲线是心脏线 （ii） 当m为整数时，曲线由m支组成，动点M描完m支后（即动圆绕定圆一周），返回起始位置 （iii） 当m为分数（，g, h为互素的整数）时，曲线由g支组成，动点M描完g支后（即动圆绕定圆h周），返回起始位置 （iv） 当m为无理数时，有无穷多的分支，动点M不能返回起始位置 尖 点 顶 点 （式中k为整数，当m为整数时，；当时，；当m为无理数时，） 曲线长（一支） 曲率半径 扇形A1B1A2A1的面积（不包括定圆的面积）

 [圆内旋轮线（内摆线）]

（a为定圆半径，b为动圆半径，t = ÐCOx）

曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹.

圆内旋轮线的尖点、顶点的坐标，弧长，曲率半径及面积公式都与圆外旋轮线一样，只须把“+b”换成“-b”.总是大于1，特别，当m = 4时，曲线有4只，称为星形线，其方程为

或

全曲线长L = 6a

曲线所围成的面积

[长（或短）辐圆外旋轮线（外次摆线）]

（a为定圆半径，b为动圆半径）

曲线是一圆周沿另一圆周的外部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.

       [长(或短)辐圆内旋轮线（内次摆线）]

（a为定圆半径，b为动圆半径）

长辐 短辐

曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.特别，当a=2b时，长短辐圆内旋轮线是一个椭圆；当a=b时，是帕斯卡蜗线.

方 程 与 图 形	特 征
[阿基米德螺线]	曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以定角速度绕极点O转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两支曲线组成，它们关于x轴对称. （方程中,） 等距性 过极点的射线与曲线交于A0,A1,A2,L，它们是等间隔()的 弧 长 曲率半径 扇形M1OM2的面积
[对数螺线（等角螺线）]	曲线与所有过极点的射线的交角都相等(a)(k=cota)，当时，曲线沿顺时针方向绕极点转动而趋于极点 等比性 过极点的射线与曲线交于L,A-1,A0,A1,L，则L，,OA0,OA1,L,各线段成等比级数（公比为） 弧长 曲率半径 [注]当时，即为一圆

       [双曲螺线(反螺线)]

渐近点 极点O（当时）

渐近线 y=a

曲率半径

扇形M₁OM₂的面积

曲线由两支组成，它们关于y轴对称

       [连锁螺线]

曲线是当N在x轴上移动时，使圆扇形OMN的面积保持一定的点M的轨迹

渐近点 极点O（当时）

渐近线 x轴（当时）

方 程 与 图 形	特 征
[圆的渐开线] （a为圆的半径，t=COx）	尖点 A(a,,0) 与x轴的交点 B(,0) （式中t0为方程t=tant的根） 弧长 曲率半径 曲率中心C在圆周上 曲线由两支组成，它们关于x轴对称
[回旋曲线]	拐点 O(0,0) 渐近点 A() B( ) 弧长 曲线关于原点对称
方 程 与 图 形	特 征
[悬链线]	顶点 A(0, a) 弧长 曲边梯形OAMP的面积 曲率半径 曲线关于y轴对称，位于抛物线y=a+（图中虚线）的上方 [注]  把一条柔软而不能伸长的重绳悬挂于 两点，便得到悬链线的形状
[曳物线]   x=aArch 或   x=aln	尖点 A(0,a)，在该点与y轴相切 弧长 =aln 曲率半径 R=acot 曲线关于y轴对称，是悬链线的渐开线，从顶点A开始展开，这一曲线的切线与x轴的交点到切点的距离为一常数. [注] 把长度为a的柔软而不能伸长的绳子的 一端系一质点M，另一端P沿轴x移动， 则点M便描成曳物线形状

         [玫瑰线]

方 程 与 图 形	特 征
[概率曲线]   y=a   (a>0, k>0)	顶点（同极大点） A(0, a) 拐点 B,C 该点切线的斜率为 曲线与x轴间的面积 曲线关于y轴对称
[标准正态分布曲线（高斯曲线）]   y=	顶点 A(0,0.3989) 拐点 B,C() 曲线与x轴间的面积为1 曲线关于y轴对称
[一般正态分布曲线]   y= [阻尼振动曲线]   y=A   (A>0)	顶点（同极大点） A(m,) 拐点 B,C(m) 曲线与x轴间的面积为1 曲线关于直线x=m对称 与x轴的交点 Bk  (k=1,2L) 与y轴的交点C(0,Asin0) 极值点 Ak的横坐标为 （式中tan） 拐点 Dk的横坐标为 （式中tan） 曲线与两条指数曲线 y=相切，切点 Pk