Kulikowski's Theorem

For every Positive Integer $n$, there exists a Sphere which has exactly $n$ Lattice Points on its surface. The Sphere is given by the equation

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-\sqrt{2}\,)^2=c^2+2,$$

where $a$ and $b$ are the coordinates of the center of the so-called Schinzel Circle

$$\cases{ (x-{\textstyle{1\over 2}})^2+y^2={\textstyle{1\over... ...})^2+y^2={\textstyle{1\over 9}} 5^{2k} & for $n=2k+1$\ odd\cr}$$

and $c$ is its Radius.

See also Circle Lattice Points, Lattice Point, Schinzel's Theorem

References

Honsberger, R. ``Circles, Squares, and Lattice Points.'' Ch. 11 in Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 117-127, 1973.

Kulikowski, T. ``Sur l'existence d'une sphère passant par un nombre donné aux coordonnées entières.'' L'Enseignement Math. Ser. 2 5, 89-90, 1959.

Schinzel, A. ``Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières.'' L'Enseignement Math. Ser. 2 4, 71-72, 1958.

Sierpinski, W. ``Sur quelques problèmes concernant les points aux coordonnées entières.'' L'Enseignement Math. Ser. 2 4, 25-31, 1958.

Sierpinski, W. ``Sur un problème de H. Steinhaus concernant les ensembles de points sur le plan.'' Fund. Math. 46, 191-194, 1959.

Sierpinski, W. A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Pergamon Press, 1964.